사다리타기는 정말 공평할까: 직접 돌려 본 숫자

사다리만으로는 공평하지 않아요. 보통 그리는 가로줄 수로는 출발한 자리 근처에 도착하기 쉬워요. 그래서 공평뽑기의 사다리타기는 아래 칸을 먼저 무작위로 섞은 다음 사다리를 만들어요. 아래는 그렇게 정한 근거예요.

8명이 타면 맨 끝 사람은 어디에 도착할까

8명이 타는 보통 사다리(틈마다 가로줄이 평균 4.7개)를 400,000개 만들어서, 맨 왼쪽 1번 자리에서 출발한 사람이 어느 칸에 도착했는지 셌어요. 공평하다면 여덟 칸이 모두 12.5%여야 해요.

아래 칸을 섞지 않은 사다리. 1번 자리 출발, 가로줄 ‘보통’.

바로 아래 칸에 도착한 비율이 24.8%이고 반대쪽 끝 칸은 1.9%예요. 약 13배 차이가 나요. 벌칙이 맨 오른쪽 칸에 있다면 맨 왼쪽에 선 사람은 거의 걸리지 않는다는 뜻이에요.

가로줄을 늘리면 나아지지만 사람이 많으면 감당이 안 돼요

맨 끝 자리에서 출발해 바로 아래 칸에 도착한 비율이에요. ‘높이’는 가로줄을 놓을 수 있는 층 수이고, 이 도구의 ‘적게·보통·많이’가 8·14·24예요.

4명은 가로줄을 조금만 그려도 고르게 섞여요. 하지만 사람이 늘면 필요한 가로줄이 훨씬 빠르게 늘어요. 한 사람의 도착 칸 분포가 고른 분포에서 벗어난 정도를 5% 아래로 내리려면 4명은 높이 12칸, 8명은 49칸, 15명은 173칸, 30명은 696칸이 필요해요. 30명이면 가로줄이 모두 약 6,728개예요. 화면에도 종이에도 그릴 수 없는 수예요.

왜 가까운 칸에 도착할까

가로줄 하나는 이웃한 두 세로줄만 맞바꿔요. 한 층을 지날 때 옆으로 한 칸 가거나 그대로 내려갈 뿐이에요. 왼쪽 끝에서 오른쪽 끝까지 가려면 오른쪽 가로줄을 여러 번 연달아 만나야 하고, 그 사이 왼쪽으로 되돌아가는 가로줄도 만나요. 그래서 층이 적으면 멀리 못 가요.

아래 칸을 먼저 섞으면 고르게 돼요

같은 8명·보통 사다리에서 아래 칸을 먼저 섞으면 1번 자리 사람이 받는 결과는 여덟 가지 모두 12.4%에서 12.6% 사이였어요. 우연히 생기는 차이 수준이에요. 무작위로 고르게 섞은 것에는 그 뒤에 어떤 사다리를 붙여도 여전히 고르게 섞인 것이라서, 가로줄이 적어도 상관없어요.

종이에 그릴 때도 같은 방법을 쓸 수 있어요. 아래 칸을 가린 채 적고, 누가 어느 세로줄에 설지를 제비로 정하거나 각자 고르게 하면 돼요. 출발 자리가 무작위면 사다리가 덜 섞여도 결과는 고르게 나와요.

이 숫자는 이렇게 쟀어요

• 이 사이트가 실제로 쓰는 사다리 만들기 코드로 사다리를 인원·높이마다 2만 개에서 40만 개씩 만들었어요. 씨앗을 고정해서 다시 돌려도 같은 숫자가 나와요.
• 사다리 규칙: 층마다 왼쪽부터, 각 틈에 가로줄이 놓일 확률은 3분의 1이고 같은 층에서 이웃한 두 틈에는 함께 놓지 않아요. 가로줄이 하나도 없는 틈에는 하나를 넣어요.
• 표의 숫자는 가로줄을 채우는 규칙이 거의 쓰이지 않는 높이 24 이상에서, 식으로 따로 계산한 정확한 값과 0.5%포인트 안에서 같았어요.
• 사람이 손으로 그리는 사다리는 규칙이 달라서 숫자가 조금 다를 수 있어요. 가로줄이 적을수록, 사람이 많을수록 가까운 칸이 유리하다는 방향은 같아요.